Contoh soal pertidaksamaan linear dua variabel kelas 11

Contoh soal pertidaksamaan linear dua variabel kelas 11

Buatlah 5 contoh soal pertidaksamaan linier dua variabel beserta jawabannya

Contoh soal pertidaksamaan linier dua variabel.

  1. Dari kelima titik berikut: A(0, 2); B(3, 2); C(6, 2); D(0, 4). Titik manakah yang berada di luar daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12?
  2. Gambarlah grafik dan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan garis x – 5y ≥ 10!
  3. Gambarlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≥ 4, 2x + y ≤ 6 dan y ≥ 0!
  4. Tentukan nilai maksimum dari Z = 3x + 2y dengan kendala: x + y ≤ 5, x + 2y ≤ 8, x ≥ 0 dan y ≥ 0!
  5. Tentukan pertidaksamaan dari grafik yang menunjukkan daerah arsir pada gambar di lampiran!

 

Jawaban dengan langkah-langkah

Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah

  • ax + by = ab

Jika koefisien y adalah bilangan positif, maka:

  • ax + by ≥ ab, daerah himpunan penyelesaiannya diarsir ke atas
  • ax + by ≤ ab, daerah himpunan penyelesaiannya diarsir ke bawah

 

Nomor 1

Diketahui

  • A(0, 2)
  • B(3, 2)
  • C(6, 2)
  • D(0, 4)

Ditanyakan

Tentukan titik yang tidak berada di daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12?

Jawab

Langkah 1

Substitusi titik A, B, C, D dan E ke pertidaksamaan garis 2x + 3y ≤ 12. Jika benar maka titik tersebut berada pada daerah penyelesaian, sedangkan jika salah maka titik tersebut berada di luar daerah penyelesaian.

Langkah 2

Titik A(0, 2)

2(0) + 3(2) ≤ 12

6 ≤ 12 ……. (benar)

Titik B(3, 2)

2(3) + 3(2) ≤ 12

12 ≤ 12 ……. (benar)

Titik C(6, 2)

2(6) + 3(2) ≤ 12

18 ≤ 12 ……. (salah)

Titik D(0, 4)

2(0) + 3(4) ≤ 12

12 ≤ 12 ……. (benar)

Langkah 3

Jadi titik yang berada di luar daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12 adalah titik C(6, 2).

 

Nomor 2

Diketahui

x – 5y ≥ 10

Ditanyakan

Gambarlah grafik dan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan garis tersebut!

Jawab

Langkah 1

Pada pertidaksamaan: x – 5y ≥ 10 koefisien y-nya masih negatif, sehingga kedua ruas dikali (–1) menjadi:

  • –x + 5y ≤ –10

Karena koefisien y sudah positif dan tandanya ≤, maka daerah penyelesaiannya berada di bawah garis.

Langkah 2

x – 5y = 10

  • Jika x = 0 maka y = –2 ⇒ (0, –2)
  • Jika y = 0 maka x = 10 ⇒ (10, 0)

Hubungkan titik (0, –2) dan (10, 0) sehingga membentuk garis lurus dan perpanjang serta arsir ke bawah.

Gambar dapat dilihat di lampiran.

 

Nomor 3

Diketahui

  • x + y ≤ 4
  • 2x + y ≥ 6
  • y ≥ 0

Ditanyakan

Gambarlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut!

Jawab

Langkah 1

Daerah penyelesaian dari y ≥ 0 adalah berada di atas sumbu X.

Langkah 2

Daerah penyelesaian dari x + y ≤ 4 adalah berada di bawah garis.

  • Jika x = 0 maka y = 4 ⇒ (0, 4)
  • Jika y = 0 maka x = 4 ⇒ (4, 0)

Hubungkan titik (0, 4) dan (4, 0) sehingga membentuk garis lurus dan perpanjang serta arsir ke bawah.

Langkah 3

Daerah penyelesaian dari 2x + y ≥ 6 adalah berada di atas garis.

  • Jika x = 0 maka y = 4 ⇒ (0, 6)
  • Jika y = 0 maka x = 4 ⇒ (3, 0)

Hubungkan titik (0, 6) dan (3, 0) sehingga membentuk garis lurus dan perpanjang serta arsir ke atas.

Langkah 4

Gambar daerah penyelesaian dapat dilihat di lampiran.

 

Nomor 4

Diketahui

  • x + y ≤ 5
  • x + 2y ≤ 8
  • x ≥ 0
  • y ≥ 0

Ditanyakan

Tentukan nilai maksimum dari Z = 3x + 2y!

BACA JUGA  Jelaskan urutan rangkaian gerakan guling depan dan guling belakang

Jawab

Langkah 1

Daerah penyelesaian dari x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah berada di kuadran I.

Langkah 2

Daerah penyelesaian dari x + y ≤ 5 adalah berada di bawah garis.

  • Jika x = 0 maka y = 5 ⇒ (0, 5)
  • Jika y = 0 maka x = 5 ⇒ (5, 0)

Hubungkan titik (0, 5) dan (5, 0) sehingga membentuk garis lurus dan perpanjang serta arsir ke bawah.

Langkah 3

Daerah penyelesaian dari x + 2y ≤ 8 adalah berada di bawah garis.

  • Jika x = 0 maka y = 4 ⇒ (0, 4)
  • Jika y = 0 maka x = 8 ⇒ (8, 0)

Hubungkan titik (0, 4) dan (8, 0) sehingga membentuk garis lurus dan perpanjang serta arsir ke bawah.

Langkah 4

Eliminasi persamaan kedua garis.

x + 2y = 8

x + y = 5

————- –

y = 3

Substitusi y = 3 ke persamaan garis x + y = 5.

x + 3 = 5

x = 5 – 3

x = 2

Jadi titik potong kedua garis adalah (2, 3).

Langkah 5

Setelah kita gambar, maka titik sudut yang berada di daerah penyelesaian adalah (0, 4), (2, 3), (5, 0) dan (0, 0). Substitusi keempat titik tersebut ke fungsi Z = 3x + 2y.

  • (0, 4) ⇒ Z = 3(0) + 2(4) = 8
  • (2, 3) ⇒ Z = 3(2) + 2(3) = 12
  • (5, 0) ⇒ Z = 3(5) + 2(0) = 15
  • (0, 0) ⇒ Z = 3(0) + 2(0) = 0

Jadi nilai maksimum dari Z adalah 15.

 

Nomor 5

Diketahui

Grafik suatu daerah yang diarsir pada garis lurus.

Ditanyakan

Tentukan pertidaksamaan dari grafik yang menunjukkan daerah arsir!

Jawab

Langkah 1

Garis memotong sumbu Y di titik (0, 8) dan memotong sumbu X di titik (–4, 0). Persamaan garis tersebut adalah:

8x + (–4)y = 8(–4)

8x – 4y = –32

==> kedua ruas dibagi (–4) <==

–2x + y = 8

Langkah 2

Daerah arsirnya berada di atas garis dan koefisien y sudah positif, maka pertidaksamaannya adalah:

  • –2x + y ≥ 8